放物線の対象移動

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・今日のポイント（放物線の対象移動）

放物線 f ( x ) :  y  = - 3  x ² - 6 x + 4
を　点　( 3 , 1 ) を対象に移動した放物線の方程式を求めよ。









ゆっくり解：
関数式の場合は　式を基本形に変形する。
（関数式の基本形とは、f (x ) = α ( x - a )  ²  + β　の形のこと）
 f ( x ) :  y  = - 3  x ² - 6 x + 4  = - 3 ( x ²  + 2 x  + 1 ) + 4 + 3
 = - 3 ( x + 1) ²  + 7



よって　この関数式は
上に凸な関数で、頂点　( - 1 , 7 ) である。


求める方程式の一般式を
f ' (x ) = α' ( x - a' )  ²  + β '
とおくと、

点を対象に移動する場合、新しい方程式の傾き α の正負は反転するので、
求める方程式の傾き　α' = 3 となる。



また　１点を軸とした対象移動では、
求める式の頂点 ( a ' , β ' )　と
元の式の頂点　( - 1 , 7 )　
の中点が、軸となる１点　( 3 , 1 )の座標と一致するので

(a ' - 1 ) / 2 = 3
(β ' + 7 ) / 2 = 1
が成り立つ。


よって
a ' = 7
β ' = - 5


f ' (x ) = α' ( x - a' )  ²  + β '
に　それぞれを代入して

f ' (x ) = 3 ( x - 7 )  ² -5  =  3 x ² - 42 x + 142




このように方程式問題は
①方程式の基本形　に形を変形し、
②各値を導き出し、その値を①で導いた値に代入し
③式を整理する
と解けるので、簡単に得点源にしよう！


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