余角の三角比

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・今日のポイント（余角の三角比）

次の問題に答えなさい
（１） sin ² 30° ＋ sin ² 60°
（２） tan  30°  × tan  45°  ×  tan  60°






ゆっくり解：
（１） sin ² 30° ＋ sin ² 60°
余角の公式より sin ² 60° = cos ² (90° - 60°) = cos ² 30°
よって
sin ² 30° ＋ sin ² 60° = sin ² 30° ＋ cos ² 30°  = 1


（２） tan  30°  × tan  45°  ×  tan  60°
余角の公式より tan 30° = 1 / tan 60°
よって
= ( 1 / tan 60° )  × tan  45°  ×  tan  60°
= tan  45° = 1

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三角比を使った問題

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・今日のポイント（三角比を使った問題）

次の問題に答えなさい
（１） tan θ　=  3 の時、（但し 0° < θ < 90°　であるとする）
sin θ  , cos θ　の値は？





ゆっくり解：
（１）
tan θ　が分かっている場合、直角三角形の絵を描くと良い。
底辺を１とした時に、高さ３の直角三角形が　tan θ　=  3　となるので、
三平方の定理より　斜辺は　√10 となる。
よって　全ての辺の長さが分かるので、

sin θ   = 3 / √10 = 3 √10 / 10
cos θ  = 1 / √10 =    √10 / 10

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正弦と余弦と正接の関係

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・今日のポイント（正弦と余弦と正接の関係）

次の問題に答えなさい
（１） tan ² θ　－ sin ² θ　－  tan ² θ  sin ² θ









ゆっくり解：
（１）tan ² θ　－ sin ² θ　－  tan ² θ  sin ² θ
= (sin ² θ　/ cos ² θ )  － sin ² θ　－  (sin ² θ　/ cos ² θ )  sin ² θ
     <=　ここがポイント：　 tan θ　＝  sin θ / cos θ  より　tan θ に代入

= (sin ² θ　/ cos ² θ )  － sin ² θ (cos ² θ  / cos ² θ )　－  (sin ² θ　/ cos ² θ )  sin ² θ
     <=　ここがポイント：　 通分する為に　第２項に　(cos ² θ  / cos ² θ ) = 1　をかける

= (sin ² θ　/ cos ² θ ) ( 1 － cos ² θ  －  sin ² θ )
= (sin ² θ　/ cos ² θ ) (  0 )
= 0


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正弦と余弦

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・今日のポイント（正弦と余弦）

次の問題に答えなさい
（１） sin ⁴ θ　－ cos ⁴ θ　－ 2 sin ² θ






ゆっくり解：
（１）sin ⁴ θ　－ cos ⁴ θ　－ 2 sin ² θ
= sin ⁴ θ　－ ( cos ² θ ) ² 　－ 2 sin ² θ　　　　　<=　ここがポイント：　 cos ⁴ θ　＝ ( cos ² θ ) ² 　と置換
= sin ⁴ θ　－ ( 1 － sin ² θ ) ² 　－ 2 sin ² θ　　 <=　ここがポイント： cos ² θ   =  1 － sin ² θ
= sin ⁴ θ　－ ( 1 － 2 sin ² θ  ＋ sin ⁴ θ)  　－ 2 sin ² θ
= sin ⁴ θ　－  1 ＋ 2 sin ² θ  － sin ⁴ θ  　－ 2 sin ² θ
= －1


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２次不等式

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・今日のポイント（２次不等式）

次の問題に答えなさい
（１） ２次不等式  x ² - 3 x + 1 ≦ -1 の解を求めなさい。






ゆっくり解：
（１）  x ² - 3 x + 1 ≦ -1
　　　 x ² - 3 x + 2 ≦ 0     　　<=　ここがポイント：式の変形　
　　( x - 2 )( x - 1) ≦ 0
　　( x - 1 )( x - 2) ≦ 0      　 <=　x の値を比較して　値が小さいほうを左に配置　　∵ α　< 　β　　

　よって
　　　1 ≦ x ≦ 2

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２次関数の最大・最小

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・今日のポイント（２次関数の最大・最小）

次の問題に答えなさい
（１） ２次関数 f(x) = x ² - 6 x + 4 　の
 範囲　0 ≦x ≦ 4 における最大値・最小値を求めなさい。






ゆっくり解：
（１） f(x) = x ² - 6 x + 4
　　　f(x) = ( x - 3 )²  - 5    　　<=　ここがポイント：２次関数の標準形に変形　


このグラフは　下に凸であり、　x = 3 の時に　頂点を持つ。
x の範囲は　0 ≦x ≦ 4　であるので、
x = 3 の時　最小値 - 5 をとり、
x = 0 の時　（ <=　ここがポイント：頂点の x 座標 = 3 から遠い範囲内の x の値）
最大値 4 をとる。


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２次関数の平行移動

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・今日のポイント（２次関数の平行移動）

次の問題に答えなさい。
（１） 放物線 y = x ^ 2 - 4 x + 10　を
　x 軸方向に -2 、y 軸方向に 2 移動して　得られる放物線の方程式を求めなさい。








ゆっくり解：
（１）　y = x ^ 2 - 4 x + 10　を移動する　という問題を解くには
 X = x + 2 , Y = y - 2 と　置き換えて考えるとよい
置き換えた　X , Y をそれぞれ元の式の　x, y に代入すると


Ｙ = X ^ 2 - 4 X + 10
(y - 2 ) = ( x + 2) ^ 2 - 4 ( x + 2)  + 10
y - 2    = x ^ 2 + 4x + 4 - 4x - 8 + 10            <=　ここがポイント：展開。展開後　整理。
y         = x ^ 2 + 8




別解）
y = x ^ 2 - 4 x + 10　の頂点をまず求める　と
y = (x - 2) ^2 + 6 より　頂点は　(2 , 6)であることが分かる。

x 軸方向に -2 、y 軸方向に 2　移動するとは、
頂点が　x 軸方向に -2 、y 軸方向に 2　移動する　と同意なので
頂点 ( 2 -2 , 6 + 2)　= ( 0 , 8 ) を通る　傾き a = 1 の放物線を求めればよい
よって
y = 1 × (x - 0) ^2 + 8
y = x^2 + 8


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２次間数の 軸・頂点 に関する問題

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・今日のポイント（２次間数の　軸・頂点　に関する問題）

次の問題に答えなさい。
（１） 放物線 y = (x-2) (4- 2x) の頂点の座標を求めなさい。






ゆっくり解：
（１） y = (x-2) (4- 2x)
y = (x-2) × 4 + (x-2) × ( - 2x)　　　 <=　ここがポイント：まずは展開。展開後　整理。
y = (4x - 8) + (- 2 x ^2 + 4x )y = - 2 x ^2 + 4x + 4x - 8y = - 2 x ^2 + 8x - 8y = - 2 ( x ^2  - 4x + 4)y = - 2 ( x - 2)^2　　　　　　　　　　 <=　ここがポイント：２次関数なので　２乗の標準形に直す


上に凸で、
頂点 ( 2, 0 ）を持つグラフである。



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