a + √b の整数部分と小数部分

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・今日のポイント（a + √b の整数部分と小数部分）

2 √2  －1 の整数部分を α、小数部分を β としたときに
α²　＋　β²の値を求めよ。







ゆっくり解：
a + √b の整数部分と小数部分　という種の問題は
解き方を知らないと解けない。
（おそらく初見では解き方に気付かない）


2 √2  －1 の整数部分を α、小数部分を β としたときとは
2 √2  －1　 = 　α　+ 　β　と表現できるという意味である。

√2 ≒ 1.414・・・より
2 < 2√2 < 3　
（※ 1 < √2 < 2　　　＝＞　2 < 2√2 < 4　と引っかかりやすいので気をつけるように。
引っかかってしまうと、整数の候補が２つできてしまう。）

よって
1 < 2√2  - 1 < 2
である。つまり、
α　+ 　β　は、1より大きく、２より小さい！
従って、整数部分　α = 1 である。　

2 √2  －1　 = 　α　+ 　β　より
2 √2  －1　 = 　1　+ 　β
β                 =   2 √2  －1 －　1
β                 =   2 √2  －2


よって
  α²　＋　β²
= (1)²　＋　(2 √2  －2)²
= 1　＋　(8  －8 √2  + 4)
= 13  －8 √2




上記のように、
α　と　β　を不等式を使って求め、求めた値を整理する
という手順を覚えよう！
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