2011年11月25日金曜日

判別式

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今日のポイント(判別式)

次の問題に答えなさい
(1)  x ^ 2 + 2 ( k + 2) x - 2k - 5         : ^ 2は2乗を意味する。
    が 重解を持つとすれば k の値は ?





ゆっくり解:
(1) x ^ 2 + 2 ( k + 2) x - 2k - 5
(1 ) (x ^ 2) + { 2 ( k + 2) }x + ( -2k - 5 )    <= ここがポイント:項ごとに カッコでくくり見易くする
                              特に 係数部分は + でくくること
 
判別式Dより
D = {2 ( k + 2) } ^ 2 - 4 (1 )  ( -2k - 5 )  
  = 4 ( k + 2)  ^ 2 - 4  ( -2k - 5 )  
  = 4 {( k + 2)  ^ 2 -  ( -2k - 5 ) }
D/4 = k^ 2 + 4 k + 4 +  2k + 5
D/4 = k^ 2 + 6 k  + 9
D/4 = (k + 3 )^ 2    ・・・①

重解を持つので ① = 0 が成り立ち、 k = -3


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2011年11月23日水曜日

2次方程式 と 因数分解

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今日のポイント(2次方程式 と 因数分解)

次の問題に答えなさい
(1) 3x^2  - 5x  - 2  = 0       : ^^ 2は2乗を意味する。





ゆっくり解:
(1) 3x^2  - 5x  - 2   = 0
   ( 3x + 1 ) ( x - 2 )  =  0      <= ここがポイント:式の変形 (たすき掛け の 利用)
 これより
 3x + 1 = 0 または   x - 2 = 0
 よって x = - 1 /3  , 2

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2011年11月11日金曜日

一次不等式

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今日のポイント(一次不等式)

次の問題に答えなさい








ゆっくり解:
(1)
2 ( x - 3 ) - 3 ( 2 x - 2 ) ≧ 6 × 2             <= ここがポイント:分母を消す
     2x - 6 - 6x + 6 ≧ 12
           - 4 x ≧ 12
                                 -x ≧ 3
                                  x ≦-3       <= ここがポイント
                         :不等号では 負の数で割ったりかけたりすると
                          不等号の向きが 変わる


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2011年11月9日水曜日

絶対値

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今日のポイント(絶対値)

次の問題に答えなさい
(1) 方程式 | x + 9 | = 2x の解を求めなさい






ゆっくり解:
(1) | x + 9 | = 2x

i)  x ≧ -9 の場合                               <= ここがポイント:絶対値は 2つの場合を考える
   x + 9 = 2x
   x = 9   (これは 条件 x ≧ -9 を満たす)

ii)  x < -9 の場合
   - (x + 9) = 2x
      - x - 9 = 2x
         - 3x  =  9
             x  =  -3
  これは 条件 x < -9 を満たさない
 よって x = 9 


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2011年11月8日火曜日

連立1次不等式

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今日のポイント(連立1次不等式)

次の問題に答えなさい
(1) 4x  - 9 ≦ 2x - 5 < 5x + 1






ゆっくり解:
(1) 4x  - 9 ≦ 2x - 5 < 5x + 1

ここがポイント:2つの不等式に分解して考える 
4x  - 9 ≦ 2x - 5    ・・・①
2x - 5 < 5x + 1  ・・・②

①より
4x - 9    ≦ 2x - 5       <= ここがポイント:移行して 整理
4x - 2x  ≦ - 5 + 9
       2x  ≦ 4
         x  ≦ 2    ・・・① '


②より
2x - 5  < 5x + 1
- 5 - 1 < 5x -2x
     - 6 < 3x
     - 2 < x    ・・・② '

①' ②' より 共通範囲は
  -2 < x ≦ 2


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平方根

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今日のポイント(平方根)

次の問題に答えなさい。但し -5 < a < 1 とする。
(1) √(a^2 -4 a + 4)         : ^ 2は2乗を意味する。






ゆっくり解:
(1) √(a^2 -4 a + 4) 
=  √(a -2)^2                  <= ここがポイント:ルートの中身を2乗の形に変形
=  | a -2 |                          
ルートを外す時には 絶対値がつくことに注意

-5 < a < 1 より
= 2 - a





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2011年11月7日月曜日

因数分解 (3次)

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今日のポイント(因数分解)

次の問題に答えなさい
(1) a^4 + a^2 + 1         : ^ 4は4乗を意味する。^ 2は2乗を意味する。

(2) a^3 + ab + c (b+c^2)         : ^ 3は3乗を意味する。^ 2は2乗を意味する。





ゆっくり解:
(1) a^4 + a^2 + 1 
=  a^4 + a^2 + 1 + a^2 - a^2        <= ここがポイント:同じものを足して引いても結果は同一
=  (a^4 + 2 a^2 + 1 ) - a^2 
(a^2 + 1 ) ^2 - a^2                   <= ここがポイント:a ^2 - b^2 の公式
(a^2 + 1 + a ) (a^2 + 1 - a )
(a^2 + a + 1(a^2  - a + 1)=  (a^2 + a + 1) (a^2  - a + 1)


(2) a^3 + ab + c (b+c^2)
=  a^3 + ab + bc+c^3                             <= ここがポイント:まず展開してみる
= b (a + c) +a^3 + c^3            <= ここがポイント:共通因数でくくる
= b (a + c)  + (a + c)(a^2 -ac + c^2)
= (a + c) (b + a^2 -ac + c^2 )


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2011年11月5日土曜日

乗法公式(2)

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今日のポイント(乗法公式)

次の問題に答えなさい
(1) (3x+2y)^3 + (3x -2y)^3         : ^ 3は3乗を意味する

(2) (a + b + c + d) ^2               :^ 2は2乗を意味する







ゆっくり解:
(1) (3x+2y)^3 + (3x -2y)^3    <= ここがポイント
                    :分かりやすく色や 波線をつけて
                     自分がどこを解いているかわかりやすくしよう
  乗法公式より
(3x)^3 + (3x) ^2 (2y) + (3x) (2y)^2 + (2y) ^3
+  (3x)^3 - (3x) ^2 (2y) + (3x) (2y)^2 - (2y) ^3
=  2 ×(3x)^3  + 2× (3x) (2y)^2 = 54 x^3 + 24 x y ^2


(2) (a + b + c + d) ^2
=  {(a + b + (c + d)} ^2   <= ここがポイント
                    :3項目の3乗 展開公式を使う様に式を変形

= a ^2 + b ^2 + (c+d)^2 + 2ab +2b (c+d) + 2 (c + d) a
= a ^2 + b ^2 + c ^ 2 + 2cd + d^2 + 2ab +2bc+2bd + 2ac + 2ad
= a ^2 + b ^2 + c ^ 2 + d^2 + 2ab + 2ac +2ad+ 2bc+2bd +  2cd


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2011年11月3日木曜日

乗法公式(1)

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今日のポイント(乗法公式)
次の問題に答えなさい
(1) (a + b)^2 (a - b)^2                  : ^ 2は2乗を意味する

(2) (x^4 + 1) (x ^2 + 1) (x + 1) (x - 1)   : ^ 4は4乗を意味する 。: ^ 2は2乗を意味する







ゆっくり解:
(1) (a + b)^2 (a - b)^2 
    =  {(a + b) (a - b) }^2       <= ここがポイント
                    組み合わせを簡単にして次数をまとめやすくすること
    =  {(a^2 - b^2) }^2
    =  a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4


(2)
   (x^4 + 1) (x ^2 + 1) (x + 1) (x - 1)
  = (x^4 + 1) (x ^2 + 1)  (x ^2 - 1)   <= ここがポイント
                        :(a + b) (a - b) =   a ^2 - b ^2 の公式を繰り返す
  = (x^4 + 1) (x ^4 - 1)
  = x^8 - 1

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