2013年2月23日土曜日

慶応大学の受験問題にチャレンジ 数学

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
慶応大学の受験問題にチャレンジ 数学

出題元 : 2013年慶應義塾大学 総合政策学部 入試問題

問4-2 (一部編集)
つぎの条件をみたすように、全空欄に1~9までの数字を入れなさい。
1) 太線で囲まれたどの9個の3×3のマスにも 1~9までの数字がすべて現れる。
2) どの縦の列、どの横の列にも 1~9までの数字がすべて現れる。
3) ピンク色の4個の3×3のマスに1~9までの数字がすべて現れる。



ゆっくり解:




赤で囲んだ領域において
空白マスの 取りうる値は (2,3,4,7,8) である。
∵3×3マスの中に、1-9の数が必ず含まれるから。

列c1に 数2,3,8が含まれるので(9は簡略化のため除外)
c1r7,c1r8 に入りうる数は(4,7)である。
残りの3マスに関して
r7行に数2,8があるので
c2r7は 3となる
∵同一行に同じ数は含まれないから。



ここで問題文より
緑で囲んだ領域においては1-9までの数字が含まれるので、
c4r7に数2が入っていることから、
c2r8 には 数2は 入りえない。
よって 数2はc3r9 であることが分かり、同時に
c2r8 には 数8が入ることが分かる。



 ひとまずここまで、別のブロックを考えよう。


赤で囲んだ領域において
空白マスの 取りうる値は (1,2,3,7,8) である。

行r1 および 行r3 および 行c7に数3があるので
数3が入りうるのは
c9r2 である。

 ひとまずここまで、別のブロックを考えよう。

赤で囲んだ領域において
空白マスの 取りうる値は (1,3,4,5,6) である。
列c2に 数3,6,7,8が含まれるので
c2r5,c2r6 に入りうる数は(1,4,5)である。
ここで 緑の領域に注目すると この領域で既に 数1,5は存在するので
c2r6に 入るのは数4であることが分かる。
また
緑の領域において 不明なマスであるc4r6は c6r6に数7が存在することから
数6が入ることが分かる。
よって c4r8の数は7であることが分かる。


列c3に 数1,2,5が含まれるので
c3r4,c3r5 には 数3か6が入ることが分かる。

青の領域において c4r3 の数が3であるために
c3r4には数3は入らない。よって
c3r4 には数6, c3r5 には 数3が分かる。

 また c4r8の数が7であることより
c1r8 には数7が入らないことが分かる。よって
c1r7 には数7、c1r8には数4が入ることが分かる。

  次のブロックを考えよう。

赤で囲んだ領域において
c1r2,c1r3のとりうる数は
列c1を考慮して (1,5,6) であることが分かる。

行r3に 数1,3,5が含まれるので
c1r3には数1,5は入りえない。
よって c1r3の数は6であることが分かる。

c2r2,c2r3のとりうる数は
列c2を考えると (1,2,5) である。
行r3に 数1,3,5が含まれるので
c2r3には数1,5は入りえない。
よって c2r3の数は2であることが分かる。
 ひとまずここまで、次のブロックを考えよう。

赤で囲んだ領域において
c7r7,c9r7のとりうる数は
行r7を考えると (4,5) である。

c9r1の数が4であるためにc9r7に数4は入らない。
よって c7r7には数4,c9r7には数5が入ることが分かる。

 緑で囲んだ領域において
まだ決定していないマスに入りうる数は(1,2,5)であることが分かる。
行r8に数5を含むマスがあるので
c6r8,c7r8には数5は入らない。
よって c8r6に数5が入ることが分かる
青で囲んだ領域において
c4r7 の数が2であるので、青の領域内でもあるc6r8には数2は入らない。
よって c6r8には数1が入ることが分かり、
また c7r8 には数2が入ることが分かる。

またc8r6に数5が入ることによって
同一行r6の他のマスには数5が入らないことが分かる。
よってc1r6には数1が入る。
このことよりc2r5には数5、
c1r2には数5、
c2r2には数1がそれぞれ入ることが分かる。

列c3を考慮するとc3r2,c3r3 に入りうる数は4,8である。
よって c4r4には数5が入る。



列c9に数3があるために
c9r8,c9r9に数3は入らないことが分かる。
よって c8r9に数3が入る。
行r7,r8に数1があるために
c9r8に数1が入らないことが分かる。
よって c9r9に数1が入る。
その結果 c9r8には残りの数6が入ることが分かる。

  次のブロックを考えよう。
青で囲んだ領域において
c8r2が数6であるために
c7r1,c7r2 には数6は入らない。

 よって
列c7を考えると、数6が入るのは
赤の領域にあるc7r5であることが分かる。
 また列r2,r3には数1を持つマスが存在しているので
列c7を考えたら、数1が入りうるマスはc7r1しかないことが分かる。
よって c7r1に数1が入り、結果c7r2には 数8が入ることが分かる。

c7r2が数8であることより
同一行であるc3r2には数8が入らない。よってc3r2には数4が入り、
c3r3には数8が入ることが分かる。

 また
青で囲んだ領域において
空白マスに入る数は(2,7)であることが分かるが、
行r1に数7があるので
c8r1には 数2しか入らない。よって
c8r3には 数7が入ることが分かる。

行r3を考えると、
c6r3には 数4が入ることが分かる。



青で囲んだ領域において
行r2を考えると、
まだ決定していないマスに入りうる数は(2,7)であることが分かる。
ここでc8r3の数が7であるため、c6r2には数7は入らない。
よってc6r2には数2が入り、c5r2には数7が入ることが分かる。

青で囲んだ領域において
c6r4 と c8r4に入りうる数は(1,3)であることが分かる。
c6r8に数1が入っているので、同列であるc6r4には数1は入らない。
よって c6r4 には数3が入り、 c8r4には数1が入ることが分かる。
 列c8を見れば、c8r5には数4が入ることは一目で分かる。

 行r4を考えると、
まだ決定していないマスに入りうる数は(4,8)であることが分かる。
ここでc9r1の数が4であるので、c9r4には数4は入らない。
よってc9r4には数8が入ることが分かる。
よってc5r4には数4が入る。

 行r5を考えると、
まだ決定していないマスに入りうる数は(1,7)であることが分かる。
ここでc4r8の数が7であるので、c4r5には数7は入らない。
よってc4r5には数1が入ることが分かる。
よってc9r5には数7が入る。
 列c9を見れば、c9r6には数2が入ることは一目で分かる。
 行r6を見れば、c5r6には数8が入ることは一目で分かる。
 行r8を見れば、c5r8には数3が入ることは一目で分かる。

 列c4を考えると、
まだ決定していないマスに入りうる数は(4,8)であることが分かる。
ここでc9r1の数が4であるので、c4r1には数4は入らない。
よってc4r1には数8が入ることが分かる。
よってc4r9には数4が入る。

 列c5を考えると、
まだ決定していないマスに入りうる数は(5,6)であることが分かる。
ここでc2r9の数が6であるので、c5r9には数6は入らない。
よってc5r9には数5が入ることが分かる。
よってc5r1には数6が入る。

 行r1を見れば、c6r1には数5が入ることは一目で分かる。
 行r9を見れば、c6r9には数8が入ることは一目で分かる。



このような数字パズルは数独というそうです。
数独はしたことないけど、頑張らなくても解けるものですね。
解き方の基本 というものもあると思いますが、
1.ブロック内の数字が多いブロック
2.行・列内の数字が多いブロック
の 空白マスに入る候補が少ないものを中心に 埋められるところから埋めていく
と解けるのか?と思いました。



ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

2013年2月18日月曜日

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学07(3)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学07(3)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問7
箱の中に1から5までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。
この箱の中からカードを1枚ずつ順に3回取り出します。
ただし、取り出したカードは元に戻さないものとします。

次に、1回目と2回目に取り出したカードに書かれた数字の和を十の位とし、
2回目と3回目に取り出したカードに書かれた数字の和を一の位とする整数を作ります。

例えば、1回目に5のカード、2回目に1のカード、3回目に2のカードを取り出したとき、
1回目と2回目に取り出したカードの数字の和は5+1=6、
2回目と3回目に取り出したカードの数字の和は1+2=3ですから、
作られる整数は63となります。

このとき、カードの取り出し方を(5,1,2)と書くことにします。


(3)作られた整数が37となるカードの取り出し方は(1,2,5)の1通りで、
45となるカードの取り出し方は、(1,3,2)(3,1,4)の2通りです。

作られた整数が70以上になり、
その整数を作るカードの取り出し方が3通りある整数を
すべて求めなさい。



解説
 作られる整数が 70以上になる条件は、最初の2枚が 次の場合である。
(2 , 5 , ※) 
(3 , 4 , ※)    (3 , 5 , ※)
(4 , 3 , ※)    (4 , 5 , ※)
(5 , 2 , ※)    (5 , 3 , ※)    (5 , 4 , ※)

 整理して、
作られた整数が70代でありうるのは、
(2 , 5 , ※)   (3 , 4 , ※)   (4 , 3 , ※)    (5 , 2 , ※)

作られた整数が80代でありうるのは、
(3 , 5 , ※)   (5 , 3 , ※)

作られた整数が90代でありうるのは、
(4 , 5 , ※)   (5 , 4 , ※)

となる。80代 90代の整数の組合せは 2種類しかないので、除外できる。
従って 考慮すべきは
(2 , 5 , ※)   (3 , 4 , ※)   (4 , 3 , ※)    (5 , 2 , ※)  
の場合である。 よって それぞれの値を確かめると、
( 2, 5 , 1) => 76  ( 2, 5 , 3) => 78  ( 2, 5 , 4) => 79
( 3, 4 , 1) => 75  ( 3, 4 , 2) => 76  ( 3, 4 , 5) => 79
( 4, 3 , 1) => 74  ( 4, 3 , 2) => 75  ( 4, 3 , 5) => 78
( 5, 2 , 1) => 73  ( 5, 2 , 3) => 75  ( 5, 2 , 4) => 76   


 整数値を元に整理すると、
73  :  ( 5, 2 , 1)
74  :  ( 4, 3 , 1)
75  :  ( 3, 4 , 1) , ( 4, 3 , 2) , ( 5, 2 , 3)
76  :  ( 2, 5 , 1) , ( 3, 4 , 2) , ( 5, 2 , 4)
78  :  ( 2, 5 , 3) , ( 4, 3 , 5)
79  :  ( 2, 5 , 4) , ( 3, 4 , 5)


 よって
作られた整数が70以上になり、
その整数を作るカードの取り出し方が3通りある整数は
75 , 76  の2種類である。



ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学07(2)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学07(2)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問7
箱の中に1から5までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。
この箱の中からカードを1枚ずつ順に3回取り出します。
ただし、取り出したカードは元に戻さないものとします。

次に、1回目と2回目に取り出したカードに書かれた数字の和を十の位とし、
2回目と3回目に取り出したカードに書かれた数字の和を一の位とする整数を作ります。

例えば、1回目に5のカード、2回目に1のカード、3回目に2のカードを取り出したとき、
1回目と2回目に取り出したカードの数字の和は5+1=6、
2回目と3回目に取り出したカードの数字の和は1+2=3ですから、
作られる整数は63となります。

このとき、カードの取り出し方を(5,1,2)と書くことにします。


(2)作られた整数が3の倍数となるようなカードの取り出し方は何通りありますか。




解説
 具体的に 組合せを書いてみる。

( 1, 2 , 3) => 35     ( 2, 1 , 3) => 34     ( 3, 1 , 2) => 43     ( 4, 1 , 2) => 53     ( 5, 1 , 2) => 63             
( 1, 2 , 4) => 36     ( 2, 1 , 4) => 35     ( 3, 1 , 4) => 45     ( 4, 1 , 3) => 54     ( 5, 1 , 3) => 64         
( 1, 2 , 5) => 37     ( 2, 1 , 5) => 36     ( 3, 1 , 5) => 46     ( 4, 1 , 5) => 56     ( 5, 1 , 4) => 65         
( 1, 3 , 2) => 45     ( 2, 3 , 1) => 54     ( 3, 2 , 1) => 53     ( 4, 2 , 1) => 63     ( 5, 2 , 1) => 73         
( 1, 3 , 4) => 47     ( 2, 3 , 4) => 57     ( 3, 2 , 4) => 56     ( 4, 2 , 3) => 65     ( 5, 2 , 3) => 75         
( 1, 3 , 5) => 48     ( 2, 3 , 5) => 58     ( 3, 2 , 5) => 57     ( 4, 2 , 5) => 67     ( 5, 2 , 4) => 76         
( 1, 4 , 2) => 56     ( 2, 4 , 1) => 65     ( 3, 4 , 1) => 75     ( 4, 3 , 1) => 74     ( 5, 3 , 1) => 84         
( 1, 4 , 3) => 57     ( 2, 4 , 3) => 67     ( 3, 4 , 2) => 76     ( 4, 3 , 2) => 75     ( 5, 3 , 2) => 85         
( 1, 4 , 5) => 59     ( 2, 4 , 5) => 69     ( 3, 4 , 5) => 79     ( 4, 3 , 5) => 78     ( 5, 3 , 4) => 87         
( 1, 5 , 2) => 66     ( 2, 5 , 1) => 76     ( 3, 5 , 1) => 86     ( 4, 5 , 1) => 96     ( 5, 4 , 1) => 95         
( 1, 5 , 3) => 68     ( 2, 5 , 3) => 78     ( 3, 5 , 2) => 87     ( 4, 5 , 2) => 97     ( 5, 4 , 2) => 96         
( 1, 5 , 4) => 69     ( 2, 5 , 4) => 79     ( 3, 5 , 4) => 89     ( 4, 5 , 3) => 98     ( 5, 4 , 3) => 97         

 3の倍数は 10の桁と1の桁を足した時に 3の倍数となるので、
それを満たす組み合わせに赤色をつけると 

( 1, 2 , 3) => 35     ( 2, 1 , 3) => 34     ( 3, 1 , 2) => 43     ( 4, 1 , 2) => 53     ( 5, 1 , 2) => 63             
( 1, 2 , 4) => 36     ( 2, 1 , 4) => 35     ( 3, 1 , 4) => 45     ( 4, 1 , 3) => 54     ( 5, 1 , 3) => 64         
( 1, 2 , 5) => 37     ( 2, 1 , 5) => 36     ( 3, 1 , 5) => 46     ( 4, 1 , 5) => 56     ( 5, 1 , 4) => 65         
( 1, 3 , 2) => 45     ( 2, 3 , 1) => 54     ( 3, 2 , 1) => 53     ( 4, 2 , 1) => 63     ( 5, 2 , 1) => 73         
( 1, 3 , 4) => 47     ( 2, 3 , 4) => 57     ( 3, 2 , 4) => 56     ( 4, 2 , 3) => 65     ( 5, 2 , 3) => 75         
( 1, 3 , 5) => 48     ( 2, 3 , 5) => 58     ( 3, 2 , 5) => 57     ( 4, 2 , 5) => 67     ( 5, 2 , 4) => 76         
( 1, 4 , 2) => 56     ( 2, 4 , 1) => 65     ( 3, 4 , 1) => 75     ( 4, 3 , 1) => 74     ( 5, 3 , 1) => 84         
( 1, 4 , 3) => 57     ( 2, 4 , 3) => 67     ( 3, 4 , 2) => 76     ( 4, 3 , 2) => 75     ( 5, 3 , 2) => 85         
( 1, 4 , 5) => 59     ( 2, 4 , 5) => 69     ( 3, 4 , 5) => 79     ( 4, 3 , 5) => 78     ( 5, 3 , 4) => 87         
( 1, 5 , 2) => 67     ( 2, 5 , 1) => 76     ( 3, 5 , 1) => 86     ( 4, 5 , 1) => 96     ( 5, 4 , 1) => 95         
( 1, 5 , 3) => 68     ( 2, 5 , 3) => 78     ( 3, 5 , 2) => 87     ( 4, 5 , 2) => 97     ( 5, 4 , 2) => 96         
( 1, 5 , 4) => 69     ( 2, 5 , 4) => 79     ( 3, 5 , 4) => 89     ( 4, 5 , 3) => 98     ( 5, 4 , 3) => 97         

 上記 24通りの組合せが 3の倍数であることが分かる。





別解)
 3の倍数は 各桁の数を足したら3の倍数になるという性質があるので、その性質を利用する。
2枚目の数は 2度足されるので 2枚目の数以外の和と 2枚目の数×2 の和が3の倍数になるかを考えればよい。
 また 1から5までの数なので、それらのうち2枚を足した数は 3以上 9以下 となる。


 以上を元に それぞれのケースを考えていこう。

 2枚目の数が1である場合、
1枚目の数と3枚目の数の和が 7 であれば、
作られた整数は3の倍数となる。
そのようなケースとは 2と5 3と4 のパターンの組合せ であるので、4通ある。
※ 1枚目の数と3枚目の数の和が 4 であるケースを考えない理由
  2から5までの数を2つ足して 4を作ることができないから。


 同様に
 2枚目の数が2である場合、
1枚目の数と3枚目の数の和が 5 または 8 であれば、
作られた整数は3の倍数となる。
和が5となるケースは 1と4 のパターンの組合せ であるので、2通りある。
和が8となるケースは 3と5 のパターンの組合せ であるので、2通りある。

 同様に
 2枚目の数が3である場合、
1枚目の数と3枚目の数の和が 3 または 6 または 9 であれば、
作られた整数は3の倍数となる。
和が3となるケースは 1と2 のパターンの組合せ であるので、2通りある。
和が6となるケースは 1と5 2と4 のパターンの組合せ であるので、4通りある。
和が9となるケースは 4と5 のパターンの組合せ であるので、2通りある。

 同様に
 2枚目の数が4である場合、
1枚目の数と3枚目の数の和が 4 または 7 であれば、
作られた整数は3の倍数となる。
和が4となるケースは 1と3 のパターンの組合せ であるので、2通りある。
和が7となるケースは 2と5 のパターンの組合せ であるので、2通りある。

 同様に
 2枚目の数が5である場合、
1枚目の数と3枚目の数の和が 5 であれば、
作られた整数は3の倍数となる。
和が5となるケースは 1と4 2と3 のパターンの組合せ であるので、4通りある。

 よって 求める組合せは 24通り である。



ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学07(1)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学07(1)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問7
箱の中に1から5までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。
この箱の中からカードを1枚ずつ順に3回取り出します。
ただし、取り出したカードは元に戻さないものとします。

次に、1回目と2回目に取り出したカードに書かれた数字の和を十の位とし、
2回目と3回目に取り出したカードに書かれた数字の和を一の位とする整数を作ります。

例えば、1回目に5のカード、2回目に1のカード、3回目に2のカードを取り出したとき、
1回目と2回目に取り出したカードの数字の和は5+1=6、
2回目と3回目に取り出したカードの数字の和は1+2=3ですから、
作られる整数は63となります。

このとき、カードの取り出し方を(5,1,2)と書くことにします。


(1)作られた整数が奇数となるようなカードの取り出し方は何通りありますか。

 



解説
 作られた整数が奇数となるのは、次の組み合わせの場合である。

(奇,奇,偶)
(奇,偶,奇)
(偶,奇,偶)
(偶,偶,奇)


(奇,奇,偶) のケース、
1枚目は 3枚ある奇数のどれかを選べばよい。
2枚目は 残り2枚ある奇数のどちらかを選べばよい。
3枚目は 2枚ある偶数のどちらかを選べばよい。
よって (奇,奇,偶) の組み合わせは 3×2×2 = 12通り ある。

同様に
(奇,偶,奇) のケース、
1枚目は 3枚ある奇数のどれかを選べばよい。
2枚目は 2枚ある偶数のどちらかを選べばよい。
3枚目は 残り2枚ある奇数のどちらかを選べばよい。
よって (奇,偶,奇) の組み合わせは 3×2×2 = 12通り ある。

同様に
(偶,奇,偶) のケース、
1枚目は 2枚ある偶数のどちらかを選べばよい。
2枚目は 3枚ある奇数のどれかを選べばよい。
3枚目は 1枚ある偶数を選べばよい。
よって (偶,奇,偶) の組み合わせは 2×3×1 = 6通り ある。

同様に
(偶,偶,奇) のケース、
1枚目は 2枚ある偶数のどちらかを選べばよい。
2枚目は 残り1枚ある偶数を選べばよい。
3枚目は 3枚ある奇数のどれかを選べばよい。
よって (偶,偶,奇) の組み合わせは 2×1×3 = 6通り ある。


 よって
作られた整数が奇数となるようなカードの取り出し方は
12+12+6+6 = 36通り ある。
 


ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学06(2)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学06(2)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問6
三角形ABCと三角形CDEは共に直角二等辺三角形であり、
影をつけた部分アの面積は28cm2です。

また、点Fは辺CDを2:1の比に分ける点です。




(2)影をつけた部分イの面積を求めなさい。





解説
 ※ 下記 解き方で問題を解くことはできるが、この解き方を小学生が知っているかは疑問である。


 上図に下記のように補助線を加えてみる。

 求めたい面積は 三角形GSO の面積から 三角形BGEの面積を取り除いたものである。

 三角形GSOの面積を求めるには、
辺TOの長さ、 辺SBの長さが分かれば良い。よって それぞれ求めよう。

 辺AG と 辺CD は 平行なので、
三角形AOG と 三角形COD の比率は 辺AG と 辺CD の長さと一致する。
 よって
AG:CD = 14:8 = 7:4

 また
辺BY=辺TO = 7/(7+4) × 11(辺BCの長さ) = 7 cm


 また
辺DF:辺FC = 1:2 なので
辺GS:辺SA = 1:2 となる。 よって
辺GS = 1/3 × 14(辺AGの長さ) = 14/3 cm


 よって
 三角形GSO の面積 = 1 / 2 × 7 × 14/3 = 49 / 3

 また
 三角形BEG の面積 = 1 / 2 × 3 × 3 = 9 / 2



 従って 求める面積は
49 / 3  - 9 / 2 = 98 / 6  - 27 / 6  = 71 / 6 cm2 ( 11  +  5/ 6 ) cm2




ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学06(1)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学06(1)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問6
三角形ABCと三角形CDEは共に直角二等辺三角形であり、
影をつけた部分アの面積は28cm2です。

また、点Fは辺CDを2:1の比に分ける点です。




(1)辺CDの長さを求めなさい。




解説
 ※ 下記 解き方で問題を解くことはできるが、この解き方を小学生が知っているかは疑問である。


 上図に下記のように補助線を加えてみる。



三角形 ABC が角Bを直角とする 直角二等辺三角形、
三角形 ECD が角Cを直角とする 直角二等辺三角形であることより、

三角形 COD が角Oを直角なので、
角AOGも直角 であることが分かり、
結果 三角形AOD は 直角三角形 であることが分かる。


 同様に
三角形 COD が角Oを直角とする 直角二等辺三角形 であることが分かる。
また このことより 角AODも直角 であることが分かり、
角OAG = 角OGA = 45度 なので、
三角形AOG は 直角二等辺三角形 であることが分かる。


 三角形 EBG も角Bを直角とする 直角二等辺三角形なので、
辺EG = 3√2 であることが分かる。 (直角二等辺三角形の辺の比率より)


 CDの長さを  x cm とすると、
ODの長さは √2 x / 2 cm となる。 (直角二等辺三角形の辺の比率より)

辺OD = 辺OE = 辺OC なので

辺OG = 辺OE + 辺EG = √2 x / 2  + 3√2 = 辺AO



三角形 AOD の面積は 1 /2  × 辺AO × 辺OD なので、
問題文より この値が 28cm2  である。

よって
1 /2  × 辺AO × 辺OD = 28
1 /2  × (√2 x / 2  + 3√2 ) × (√2 x / 2 ) = 28
x 2 / 2  + 3x = 56
x 2  + 6x  -112 = 0
( x - 8 )( x + 14 ) = 0
 x > 0 なので、 x = 8


よって 求めるCDの長さは  8 cm



ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

2013年2月17日日曜日

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学05(2)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学05(2)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問5
図のように一辺の長さが1cmの正六角形ABCDEFがあります。




この正六角形の辺上を点Pは1秒ごとに1cm→2cm→1cm→2cm→…と左回りに、
点Qは1秒ごとに1cm→2cm→3cm→2cm→1cm→2cm→…と右回りに
速さを規則的に変えながら、頂点Aから同時に移動を始めます。

つまり、
1秒後には点Pは頂点B、点Qは頂点F上にあり、
2秒後には、点P、Qが頂点Dで初めて出会うことになります。


(2)出発後、点Qが正六角形上を25周する間に、
点P、Qは何回頂点上で出会いますか。




解説
 点Pの軌跡を赤色、点Qの軌跡を緑色で表したら、次のグラフを作れる。

 点Qの周期は 1 + 2 + 3 + 2 の 4秒間に8マス 移動するものである。
正六角形なので、1周6マスである。
点Qが 点Aから周期通りに移動できるのは 12秒間隔である。 

 グラフより 12秒間で 点Qは4周していることが分かる。
 この12秒間で 点Pと交わるのは 7回である。
 が、頂点上であうのは 6回である。  
(ここはひっかけである。ひっかからないように問題文をよく読もう)


 点Qが25周するには 24+1周なので
24周/4周 × 6回 + 1回(1周目で点Pと交わる回数) => 37回




ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学05(1)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学05(1)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問5
図のように一辺の長さが1cmの正六角形ABCDEFがあります。




この正六角形の辺上を点Pは1秒ごとに1cm→2cm→1cm→2cm→…と左回りに、
点Qは1秒ごとに1cm→2cm→3cm→2cm→1cm→2cm→…と右回りに
速さを規則的に変えながら、頂点Aから同時に移動を始めます。

つまり、
1秒後には点Pは頂点B、点Qは頂点F上にあり、
2秒後には、点P、Qが頂点Dで初めて出会うことになります。


(1)点P、Qが2回目に頂点上で出会うのは出発してから何秒後ですか。
また、出会うのはどの頂点上ですか。




解説
 点Pの軌跡を赤色、点Qの軌跡を緑色で表したら、次のグラフを作れる。

 グラフより
点P、Qが2回目に頂点上で出会うのは出発してから3.5秒後
出会うのはどの頂点F上




ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学04(2)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学04(2)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問4
次のように、ある規則にしたがって分数が並(なら)んでいます。

2)1番目から□番目までの分数をかけ合わせてできた分数を小数にしたものを
〈□〉と表すことにします。
例えば、1番目と2番目の分数の積は、 ですから、
〈2〉=0.2となり、割り切れる小数となります。
また、1番目から3番目までの分数の積は、 ですから、
〈3〉=0.1428…となり、割り切れない小数となります。

1から500までの□のうち、
〈□〉が割り切れる小数となる一番大きな□とそのときの〈□〉を求めなさい。



解説
 〈□〉は  1 / 2 □ + 1 と表せる。

 つまり 分子は常に1である。
1 を 割り切れる数 とは、2 か 5の倍数である。(このことに気付かなければ絶対解けない。)

が、分母は必ず 奇数なので、
2 □ + 1 が 5の累乗になるケースを考えればよい。

5の累乗として、とりうる値は
 5,25,125,625,3125 ・・・
となる。また □ ≦ 500 なので

2 □ + 1 = 3125  =>  □ =1562
2 □ + 1 = 625  =>   □ =312
2 □ + 1 = 125  =>   □ =62
2 □ + 1 =  25  =>   □ =22




ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学04(1)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学04(1)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問4
次のように、ある規則にしたがって分数が並(なら)んでいます。

(1)分数を小数で表したとき、初めて0.999より大きくなるのは何番目の分数ですか。


解説
 n番目の分数は 2 n - 1 / 2 n + 1 と表せる。

 2 n - 1 / 2 n + 1 > 0.999 が成り立てばよいので、

 1000 × ( 2 n - 1 )  >  999 ( 2 n + 1 )

 2 n × 1000 - 1000 > 2 n × 999 +999
           2 n   > 1999
              n   > 999.5

nは整数なので 初めて 0.999 を超えるのは 1000番目



ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

2013年2月15日金曜日

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学03(2)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学03(2)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問3
図のように、斜線の部分があいている水そうAを底面が縦60cm、
横90cmの十分な深さのある直方体の水そうBに入れています。
底はしっかり固定されています。

次にじゃ口を開き、水そうBに一定の割合で水を入れ始めます。
ただし、水そうAにはじゃ口から直接水が入らないものとします。

水を入れ始めてからの時間と水そうBの水面の高さの関係をグラフに表しました。


(2)グラフの(ア)の値を求めなさい。


解説





 上図のように 水槽Aの下の段の高さ を  cm とする。

すると 水槽Aの体積は 次の式によって計算できる
( 80 × 50 × X ) + { 40 × 50 × ( 60 - X) }    ・・・①

 また グラフより
 水量12000 cm3 /分 で14分10秒 間(=27秒-12分50秒)間 注水した量と①は一致するので

( 80 × 50 × X ) + { 40 × 50 × ( 60 - X) }  = 12000 × 850 / 60 が成り立つ。よって
4000 X +  2000 × ( 60 - X)   = 200 × 850
4000 X +  120000  - 2000 X   = 170000
2000 X   = 50000
    X   = 25





水槽Bにおいて 上図の青波線内の容積は
90 × 60 × 25 -80 × 50 × 25 = 2500  × ( 9 × 6 -8 × 5 ) = 2500  × 14 cm3 

この容積に対して 12000 cm3 /分 の速さで注水されるので
求める時間は

 2500  × 14 cm3 ÷ (12000 cm3 /分)
=( 2500  × 14 / 12000  )分
=(25  × 14 / 120 )分
=(25  × 7 / 60 )分
= ( 175/60 )分 = 2分55秒





ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学03(1)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学03(1)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問3
図のように、斜線の部分があいている水そうAを底面が縦60cm、
横90cmの十分な深さのある直方体の水そうBに入れています。
底はしっかり固定されています。

次にじゃ口を開き、水そうBに一定の割合で水を入れ始めます。
ただし、水そうAにはじゃ口から直接水が入らないものとします。

水を入れ始めてからの時間と水そうBの水面の高さの関係をグラフに表しました。


(1)水はじゃ口から毎分何cm 3 出ていますか。


解説
 図からは 水槽Aの高さが分からない。
 が グラフから 水槽Aの高さが60cm であることが分かる。

 このことに気付かない と解けない

 グラフより 27分時点から水位が上昇しはじめていることが分かる。
12分50秒から27分まで水位が変化しなかった理由は
水槽Aの中に 水槽Bから溢れた水がたまっていたためである。

 水槽Aも満杯になったために 27分時点から水位が上昇しているので、
27分かかって どれくらいの水量があるかが分かれば、
水の噴出量は計算できる。

 よって
立方体B において
60cm(縦) × 90cm(横) × 60cm(高さ) / 27分
= 60cm × 10cm × 60cm / 3分
= 20cm × 10cm × 60cm / 分
= 12000 cm/分



ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/

難関中学の受験問題にチャレンジ 数学02(2)

鹿児島 学習塾 WISE:
中学生・高校生向け 英・数・小論文 講座&宿題サポート
  http://www.wise.web-studies.info/
========================================================
難関中学の受験問題にチャレンジ 数学02(2)

出題元 : 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問2
偶数枚(ぐうすうまい)のカードをつみ重ねた山があります。
このカードの山をちょうど半分の枚数のところで上下2つに区切り、
上半分をA、下半分をBとします。
そして
Aの1番上のカードの下にBの一番上のカード、
続けてAの2番目のカード、Bの2番目のカード、…と交互に組みかえて、
再び1つの山を作ります。これを操作Xとよぶことにします。


(2)何枚かのカードを用意して、操作Xを続けて2回行うと、
最初上から55枚目であったカードが元の位置に戻りました。
カードは全部で何枚ありますか。




解説

操作2回目で 55枚目になるためには
操作1回目で 28枚目にあればよい。


操作1回目で順番が28枚目になる ということは
偶数枚目なので 操作前の段階では 55枚目はBグループにあることが分かる。
 更に 操作1回目で28枚目になるためには
55枚目は操作前の段階では Bグループの14枚目 でなければならない。

 よって
Bグループの14枚目 = 全体の55枚目 が成り立てばよい。
全体の枚数を 2Y とすると
Y + 14 = 55 が成り立てばよい。
よって Y = 41
 ∴ 2Y = 82


よって 82枚 である。




ブログランキングに参加しました。
是非クリックしてください。

人気ブログランキングへ


========================================================
鹿児島 学習塾 WISE:
  http://www.wise.web-studies.info/