条件がある場合の最大・最小

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・今日のポイント（条件がある場合の最大・最小）

x ²  + y ²  = 1　であるとき、x + y ²の最大値を求めよ。










ゆっくり解：
知らないと解けない。



x ²  + y ²  = 1より
y ²  = 1 - x ² 

y ²  ≧ 0 より
1 - x ²   ≧ 0
x ²  ≦ 1　　　　　∴  -1 ≦ x ≦ 1　（x の定義域　を出す）



k = x + y ²と置く。と
k = x + y ²  = x + (1 - x ² )
k = x + y ²  = - x ²  + x + 1 = - (x ²  - 2 x / 2 ) + 1
   = - (x -  1 / 2 ) ²  + 1/4  + 1    = - (x -  1 / 2 ) ²  + 5/4


よって 関数 k は　上に凸な関数で、頂点　( 1 / 2, 5 / 4 )　を持つ。
 この頂点は x の定義域内なので 関数k の最大値は頂点の値と一致する。

よって
最大値　は　5 / 4


このように 条件がある場合の最大・最小を求める問題　では
① 定義域を明確にする
② k = ○○ と置き換える
と解けるので、覚えておこう。


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