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・難関中学の受験問題にチャレンジ 数学07（２）
出題元 ： 2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/
問７
箱の中に1から5までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っています。
この箱の中からカードを１枚ずつ順に3回取り出します。
ただし、取り出したカードは元に戻さないものとします。
次に、1回目と2回目に取り出したカードに書かれた数字の和を十の位とし、
2回目と3回目に取り出したカードに書かれた数字の和を一の位とする整数を作ります。
例えば、1回目に5のカード、2回目に１のカード、3回目に２のカードを取り出したとき、
1回目と2回目に取り出したカードの数字の和は5+1=6、
2回目と3回目に取り出したカードの数字の和は1+2=3ですから、
作られる整数は63となります。
このとき、カードの取り出し方を（5,1,2）と書くことにします。
（2）作られた整数が3の倍数となるようなカードの取り出し方は何通りありますか。
解説
具体的に 組合せを書いてみる。
( 1, 2 , 3) => 35 ( 2, 1 , 3) => 34 ( 3, 1 , 2) => 43 ( 4, 1 , 2) => 53 ( 5, 1 , 2) => 63
( 1, 2 , 4) => 36 ( 2, 1 , 4) => 35 ( 3, 1 , 4) => 45 ( 4, 1 , 3) => 54 ( 5, 1 , 3) => 64
( 1, 2 , 5) => 37 ( 2, 1 , 5) => 36 ( 3, 1 , 5) => 46 ( 4, 1 , 5) => 56 ( 5, 1 , 4) => 65
( 1, 3 , 2) => 45 ( 2, 3 , 1) => 54 ( 3, 2 , 1) => 53 ( 4, 2 , 1) => 63 ( 5, 2 , 1) => 73
( 1, 3 , 4) => 47 ( 2, 3 , 4) => 57 ( 3, 2 , 4) => 56 ( 4, 2 , 3) => 65 ( 5, 2 , 3) => 75
( 1, 3 , 5) => 48 ( 2, 3 , 5) => 58 ( 3, 2 , 5) => 57 ( 4, 2 , 5) => 67 ( 5, 2 , 4) => 76
( 1, 4 , 2) => 56 ( 2, 4 , 1) => 65 ( 3, 4 , 1) => 75 ( 4, 3 , 1) => 74 ( 5, 3 , 1) => 84
( 1, 4 , 3) => 57 ( 2, 4 , 3) => 67 ( 3, 4 , 2) => 76 ( 4, 3 , 2) => 75 ( 5, 3 , 2) => 85
( 1, 4 , 5) => 59 ( 2, 4 , 5) => 69 ( 3, 4 , 5) => 79 ( 4, 3 , 5) => 78 ( 5, 3 , 4) => 87
( 1, 5 , 2) => 66 ( 2, 5 , 1) => 76 ( 3, 5 , 1) => 86 ( 4, 5 , 1) => 96 ( 5, 4 , 1) => 95
( 1, 5 , 3) => 68 ( 2, 5 , 3) => 78 ( 3, 5 , 2) => 87 ( 4, 5 , 2) => 97 ( 5, 4 , 2) => 96
( 1, 5 , 4) => 69 ( 2, 5 , 4) => 79 ( 3, 5 , 4) => 89 ( 4, 5 , 3) => 98 ( 5, 4 , 3) => 97
３の倍数は １０の桁と１の桁を足した時に ３の倍数となるので、
それを満たす組み合わせに赤色をつけると
( 1, 2 , 3) => 35 ( 2, 1 , 3) => 34 ( 3, 1 , 2) => 43 ( 4, 1 , 2) => 53 ( 5, 1 , 2) => 63
( 1, 2 , 4) => 36 ( 2, 1 , 4) => 35 ( 3, 1 , 4) => 45 ( 4, 1 , 3) => 54 ( 5, 1 , 3) => 64
( 1, 2 , 5) => 37 ( 2, 1 , 5) => 36 ( 3, 1 , 5) => 46 ( 4, 1 , 5) => 56 ( 5, 1 , 4) => 65
( 1, 3 , 2) => 45 ( 2, 3 , 1) => 54 ( 3, 2 , 1) => 53 ( 4, 2 , 1) => 63 ( 5, 2 , 1) => 73
( 1, 3 , 4) => 47 ( 2, 3 , 4) => 57 ( 3, 2 , 4) => 56 ( 4, 2 , 3) => 65 ( 5, 2 , 3) => 75
( 1, 3 , 5) => 48 ( 2, 3 , 5) => 58 ( 3, 2 , 5) => 57 ( 4, 2 , 5) => 67 ( 5, 2 , 4) => 76
( 1, 4 , 2) => 56 ( 2, 4 , 1) => 65 ( 3, 4 , 1) => 75 ( 4, 3 , 1) => 74 ( 5, 3 , 1) => 84
( 1, 4 , 3) => 57 ( 2, 4 , 3) => 67 ( 3, 4 , 2) => 76 ( 4, 3 , 2) => 75 ( 5, 3 , 2) => 85
( 1, 4 , 5) => 59 ( 2, 4 , 5) => 69 ( 3, 4 , 5) => 79 ( 4, 3 , 5) => 78 ( 5, 3 , 4) => 87
( 1, 5 , 2) => 67 ( 2, 5 , 1) => 76 ( 3, 5 , 1) => 86 ( 4, 5 , 1) => 96 ( 5, 4 , 1) => 95
( 1, 5 , 3) => 68 ( 2, 5 , 3) => 78 ( 3, 5 , 2) => 87 ( 4, 5 , 2) => 97 ( 5, 4 , 2) => 96
( 1, 5 , 4) => 69 ( 2, 5 , 4) => 79 ( 3, 5 , 4) => 89 ( 4, 5 , 3) => 98 ( 5, 4 , 3) => 97
上記 ２４通りの組合せが ３の倍数であることが分かる。
別解）
３の倍数は 各桁の数を足したら３の倍数になるという性質があるので、その性質を利用する。
２枚目の数は ２度足されるので ２枚目の数以外の和と ２枚目の数×２ の和が３の倍数になるかを考えればよい。
また １から５までの数なので、それらのうち２枚を足した数は ３以上 ９以下 となる。
以上を元に それぞれのケースを考えていこう。
２枚目の数が１である場合、
１枚目の数と３枚目の数の和が ７ であれば、
作られた整数は３の倍数となる。
そのようなケースとは ２と５ ３と４ のパターンの組合せ であるので、４通りある。
※ １枚目の数と３枚目の数の和が ４ であるケースを考えない理由
２から５までの数を２つ足して ４を作ることができないから。
同様に
２枚目の数が２である場合、
１枚目の数と３枚目の数の和が ５ または ８ であれば、
作られた整数は３の倍数となる。
和が５となるケースは １と４ のパターンの組合せ であるので、２通りある。
和が８となるケースは ３と５ のパターンの組合せ であるので、２通りある。
同様に
２枚目の数が３である場合、
１枚目の数と３枚目の数の和が ３ または ６ または ９ であれば、
作られた整数は３の倍数となる。
和が３となるケースは １と２ のパターンの組合せ であるので、２通りある。
和が６となるケースは １と５ ２と４ のパターンの組合せ であるので、４通りある。
和が９となるケースは ４と５ のパターンの組合せ であるので、２通りある。
同様に
２枚目の数が４である場合、
１枚目の数と３枚目の数の和が ４ または ７ であれば、
作られた整数は３の倍数となる。
和が４となるケースは １と３ のパターンの組合せ であるので、２通りある。
和が７となるケースは ２と５ のパターンの組合せ であるので、２通りある。
同様に
２枚目の数が５である場合、
１枚目の数と３枚目の数の和が ５ であれば、
作られた整数は３の倍数となる。
和が５となるケースは １と４ ２と３ のパターンの組合せ であるので、４通りある。
よって 求める組合せは ２４通り である。
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