判別式

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・今日のポイント（判別式）

次の問題に答えなさい
（１）  x ^ 2 + 2 ( k + 2) x - 2k - 5         ： ^ 2は２乗を意味する。
 　　　が　重解を持つとすれば　k の値は　?





ゆっくり解：
（１） x ^ 2 + 2 ( k + 2) x - 2k - 5
=  (1 ) (x ^ 2) + { 2 ( k + 2) }x + ( -2k - 5 )    <=　ここがポイント：項ごとに　カッコでくくり見易くする
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 特に　係数部分は　＋　でくくること
　
判別式Dより
D　= {2 ( k + 2) } ^ 2 - 4 (1 )  ( -2k - 5 )  
　　= 4 ( k + 2)  ^ 2 - 4  ( -2k - 5 )  
　　= 4 {( k + 2)  ^ 2 -  ( -2k - 5 ) }
D/4 = k^ 2 + 4 k + 4 +  2k + 5
D/4 = k^ 2 + 6 k  + 9
D/4 = (k + 3 )^ 2　　　　・・・①

重解を持つので　① = 0　が成り立ち、 k = -3


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２次方程式 と 因数分解

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・今日のポイント（２次方程式　と　因数分解）

次の問題に答えなさい
（１） 3x^2  - 5x  - 2  = 0       ： ^^ 2は２乗を意味する。





ゆっくり解：
（１） 3x^2  - 5x  - 2   = 0
   ( 3x + 1 ) ( x - 2 )  =  0      <=　ここがポイント：式の変形　（たすき掛け　の　利用）
　これより
　3x + 1 = 0　または　  x - 2 = 0
　よって　x = - 1 /3  , 2

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一次不等式

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・今日のポイント（一次不等式）

次の問題に答えなさい








ゆっくり解：
（１）
2 ( x - 3 ) - 3 ( 2 x - 2 ) ≧ 6 × 2             <=　ここがポイント：分母を消す
　　　　　2x - 6 - 6x + 6 ≧ 12
　　　　　　　　　　 - 4 x ≧ 12
                                 -x ≧ 3
                                  x ≦-3　　　　　　　<=　ここがポイント
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：不等号では　負の数で割ったりかけたりすると
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　不等号の向きが　変わる


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絶対値

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・今日のポイント（絶対値）

次の問題に答えなさい
（１） 方程式　| x + 9 | = 2x の解を求めなさい






ゆっくり解：
（１） | x + 9 | = 2x

i)  x ≧ -9 の場合                               <=　ここがポイント：絶対値は　２つの場合を考える
   x + 9 = 2x
   x = 9   （これは　条件　x ≧ -9　を満たす）

ii)  x < -9 の場合
   - (x + 9) = 2x
      - x - 9 = 2x
         - 3x  =  9
             x  =  -3
  これは　条件　x < -9　を満たさない
　よって　x = 9 


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連立１次不等式

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・今日のポイント（連立１次不等式）

次の問題に答えなさい
（１） 4x  - 9 ≦ 2x - 5 < 5x + 1






ゆっくり解：
（１） 4x  - 9 ≦ 2x - 5 < 5x + 1

ここがポイント：２つの不等式に分解して考える　
4x  - 9 ≦ 2x - 5    ・・・①
2x - 5 < 5x + 1　　・・・②

①より
4x - 9    ≦ 2x - 5       <=　ここがポイント：移行して　整理
4x - 2x  ≦ - 5 + 9
       2x  ≦ 4
         x  ≦ 2    ・・・① '


②より
2x - 5  < 5x + 1
- 5 - 1 < 5x -2x
     - 6 < 3x
     - 2 < x    ・・・② '

①' ②' より　共通範囲は
　　-2 < x ≦ 2


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平方根

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・今日のポイント（平方根）

次の問題に答えなさい。但し　-5 < a < 1 とする。
（１） √(a^2 -4 a + 4)         ： ^ 2は２乗を意味する。






ゆっくり解：
（１） √(a^2 -4 a + 4) 
=  √(a -2)^2        　　　　　　　　　 <=　ここがポイント：ルートの中身を２乗の形に変形
=  | a -2 | 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：ルートを外す時には　絶対値がつくことに注意

-5 < a < 1　より
= 2 - a





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因数分解 （３次）

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・今日のポイント（因数分解）

次の問題に答えなさい
（１） a^4 + a^2 + 1         ： ^ 4は４乗を意味する。^ 2は２乗を意味する。

（２） a^3 + ab + c (b+c^2)         ： ^ 3は３乗を意味する。^ 2は２乗を意味する。





ゆっくり解：
（１） a^4 + a^2 + 1 
=  a^4 + a^2 + 1 + a^2 - a^2        <=　ここがポイント：同じものを足して引いても結果は同一
=  (a^4 + 2 a^2 + 1 ) - a^2 
=  (a^2 + 1 ) ^2 - a^2                   <=　ここがポイント：a ^2 - b^2 の公式=  (a^2 + 1 + a ) (a^2 + 1 - a )
=  (a^2 + a + 1) (a^2  - a + 1)=  (a^2 + a + 1) (a^2  - a + 1)


（２） a^3 + ab + c (b+c^2)
=  a^3 + ab + bc+c^3                             <=　ここがポイント：まず展開してみる
= b (a + c) +a^3 + c^3　　　　　　　　   　<=　ここがポイント：共通因数でくくる
= b (a + c)  + (a + c)(a^2 -ac + c^2)
= (a + c) (b + a^2 -ac + c^2 )


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乗法公式（２）

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・今日のポイント（乗法公式）

次の問題に答えなさい
（１） (3x+2y)^3 + (3x -2y)^3         ： ^ 3は３乗を意味する

（２） (a + b + c + d) ^2             　　：^ 2は２乗を意味する







ゆっくり解：
（１） (3x+2y)^3 + (3x -2y)^3 　　　<=　ここがポイント
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：分かりやすく色や　波線をつけて
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自分がどこを解いているかわかりやすくしよう
　　乗法公式より
=  (3x)^3 + (3x) ^2 (2y) + (3x) (2y)^2 + (2y) ^3
+  (3x)^3 - (3x) ^2 (2y) + (3x) (2y)^2 - (2y) ^3
=  2 ×(3x)^3  + 2× (3x) (2y)^2 = 54 x^3 + 24 x y ^2


（２） (a + b + c + d) ^2
=  {(a + b + (c + d)} ^2　　　<=　ここがポイント
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：３項目の３乗　展開公式を使う様に式を変形

= a ^2 + b ^2 + (c+d)^2 + 2ab +2b (c+d) + 2 (c + d) a
= a ^2 + b ^2 + c ^ 2 + 2cd + d^2 + 2ab +2bc+2bd + 2ac + 2ad
= a ^2 + b ^2 + c ^ 2 + d^2 + 2ab + 2ac +2ad+ 2bc+2bd +  2cd


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乗法公式（１）

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・今日のポイント（乗法公式）
次の問題に答えなさい
（１） (a + b)^2 (a - b)^2                  ： ^ 2は２乗を意味する

（２） (x^4 + 1) (x ^2 + 1) (x + 1) (x - 1) 　　： ^ 4は4乗を意味する 。： ^ 2は２乗を意味する







ゆっくり解：
（１）　(a + b)^2 (a - b)^2 
　   =  {(a + b) (a - b) }^2     　　<=　ここがポイント
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：組み合わせを簡単にして次数をまとめやすくすること
　   =  {(a^2 - b^2) }^2
　   =  a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4


（２）
　　　(x^4 + 1) (x ^2 + 1) (x + 1) (x - 1)
　　= (x^4 + 1) (x ^2 + 1)  (x ^2 - 1) 　　<=　ここがポイント
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：(a + b) (a - b) =   a ^2 - b ^2 の公式を繰り返す
　　= (x^4 + 1) (x ^4 - 1)
　　= x^8 - 1

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