難関中学の受験問題にチャレンジ 数学05（２）

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・難関中学の受験問題にチャレンジ 数学05（２）

出題元　：　2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問５
図のように一辺の長さが1cmの正六角形ABCDEFがあります。

この正六角形の辺上を点Pは1秒ごとに1cm→2cm→1cm→2cm→…と左回りに、
点Qは１秒ごとに1cm→2cm→3cm→2cm→1cm→2cm→…と右回りに
速さを規則的に変えながら、頂点Aから同時に移動を始めます。

つまり、

1秒後には点Pは頂点B、点Qは頂点F上にあり、

2秒後には、点P、Qが頂点Dで初めて出会うことになります。

（2）出発後、点Qが正六角形上を25周する間に、
点P、Qは何回頂点上で出会いますか。




解説
　点Ｐの軌跡を赤色、点Ｑの軌跡を緑色で表したら、次のグラフを作れる。

　点Ｑの周期は　１　＋　２　＋　３　＋　２　の　４秒間に８マス　移動するものである。
正六角形なので、１周６マスである。
点Ｑが　点Ａから周期通りに移動できるのは　１２秒間隔である。　

　グラフより　１２秒間で　点Ｑは４周していることが分かる。
　この１２秒間で　点Ｐと交わるのは　７回である。
　が、頂点上であうのは　６回である。　　
（ここはひっかけである。ひっかからないように問題文をよく読もう）


　点Ｑが２５周するには　２４＋１周なので
２４周／４周　×　６回　＋　１回（１周目で点Ｐと交わる回数）　＝＞　３７回




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