難関中学の受験問題にチャレンジ 数学06（１）

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・難関中学の受験問題にチャレンジ 数学06（１）

出題元　：　2013年神戸女学院中学部 入試問題
http://mainichi.jp/sp/kaitou/

問６

三角形ABCと三角形CDEは共に直角二等辺三角形であり、

影をつけた部分の面積は28cm²です。

また、点Fは辺CDを2：1の比に分ける点です。

（1）辺CDの長さを求めなさい。




解説
　※　下記　解き方で問題を解くことはできるが、この解き方を小学生が知っているかは疑問である。


　上図に下記のように補助線を加えてみる。

三角形　ＡＢＣ　が角Ｂを直角とする　直角二等辺三角形、
三角形　ＥＣＤ　が角Ｃを直角とする　直角二等辺三角形であることより、

三角形　ＣＯＤ　が角Ｏを直角なので、
角ＡＯＧも直角　であることが分かり、
結果　三角形ＡＯＤ　は　直角三角形　であることが分かる。


　同様に
三角形　ＣＯＤ　が角Ｏを直角とする　直角二等辺三角形　であることが分かる。
また　このことより　角ＡＯＤも直角　であることが分かり、
角ＯＡＧ　＝　角ＯＧＡ　＝　４５度　なので、
三角形ＡＯＧ　は　直角二等辺三角形　であることが分かる。


　三角形　ＥＢＧ　も角Ｂを直角とする　直角二等辺三角形なので、
辺ＥＧ　＝　３√２　であることが分かる。　（直角二等辺三角形の辺の比率より）


　ＣＤの長さを　 x cm とすると、
ＯＤの長さは　√2 x / 2 cm となる。　（直角二等辺三角形の辺の比率より）

辺ＯＤ　＝　辺ＯＥ　＝　辺ＯＣ　なので

辺ＯＧ　＝　辺ＯＥ　＋　辺ＥＧ　＝　√2 x / 2 　＋　３√２　＝　辺ＡＯ



三角形　ＡＯＤ　の面積は　1 /2 　×　辺ＡＯ　×　辺ＯＤ　なので、
問題文より　この値が　28cm²である。

よって
1 /2 　×　辺ＡＯ　×　辺ＯＤ　＝　２８
1 /2 　×　（√2 x / 2 　＋　３√２　）　×　（√2 x / 2　）　＝　２８
x ² / 2 　＋　３x ＝　５６
x ² 　＋　６x 　－１１２　＝　０
（ x － 8 ）（ x ＋ 14 ） ＝　０
 x ＞ 0 なので、　x = 8


よって　求めるＣＤの長さは　 ８ cm。



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